در شکل مقابل $BC \parallel DE$. اندازهٔ پاره‌خط‌های $DE$ و $CA$ را به دست آورید.
در شکل، دو مثلث $\triangle ABC$ و $\triangle ADE$ وجود دارند که پاره‌خط $BC$ با $DE$ موازی است. اما نقاط $B, A, D$ و $C, A, E$ روی یک خط نیستند. در واقع، دو خط متقاطع $DB$ و $CE$ توسط دو خط موازی $BC$ و $DE$ قطع شده‌اند.
این حالت منجر به **تشابه مثلث‌های $\triangle ABC$ و $\triangle ADE$** می‌شود، زیرا:
1. $$\hat{BAC} = \hat{DAE} \quad (\text{مقابل به رأس})$$
2. $$\hat{B} = \hat{D} \quad (\text{متبادل داخلی } BC \parallel DE \text{ و خط قاطع } DB)$$
3. $$\hat{C} = \hat{E} \quad (\text{متبادل داخلی } BC \parallel DE \text{ و خط قاطع } CE)$$
پس: $$\triangle ABC \sim \triangle ADE$$
**۱. نوشتن تناسب تشابه**
$$k = \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$$
اندازه‌های داده شده: $AB = 21, AD = 22, BC = 33, AE = 18$.
**۲. محاسبهٔ $DE$ (ضلع $\triangle ADE$)**
$$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD}$$
$$\frac{33}{DE} = \frac{21}{22}$$
$$21 \times DE = 33 \times 22$$
$$DE = \frac{33 \times 22}{21} = \frac{3 \times 11 \times 22}{3 \times 7} = \frac{242}{7} \approx 34.57$$
$$\text{اندازهٔ } DE: \frac{242}{7} \quad (\approx 34.57)$$
**۳. محاسبهٔ $CA$ (ضلع $\triangle ABC$)**
$$\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD}$$
$$\frac{AC}{18} = \frac{21}{22}$$
$$22 \times AC = 18 \times 21$$
$$AC = \frac{18 \times 21}{22} = \frac{9 \times 21}{11} = \frac{189}{11} \approx 17.18$$
$$\text{اندازهٔ } CA: \frac{189}{11} \quad (\approx 17.18)$$
اگر نقاط $P$, $N$ و $M$ مطابق شکل وسط‌های اضلاع مثلث $ABC$ باشند، ثابت کنید مثلث‌های $ABC$ و $MNP$ متشابه‌اند.
حل:
الف) $MP \parallel AC$ و $NP \parallel AB$ و $MN \parallel BC$. چرا؟
ب) بنابراین، $\hat{N} = \hat{B}, \hat{P} = \hat{C}, \hat{M} = \hat{C}, \hat{P} = \hat{B}$. (چرا؟)
از (ب) دربارهٔ مثلث‌های مورد نظر چه نتیجه‌ای می‌توان گرفت؟
## اثبات تشابه $\triangle ABC$ و $\triangle MNP$
**فرض**: $M$ وسط $AB$، $N$ وسط $AC$، $P$ وسط $BC$.
**الف) موازی بودن اضلاع**
$$\text{پاره‌خط میانی} \Rightarrow \begin{cases} MN \parallel BC \\ NP \parallel AB \\ MP \parallel AC \end{cases}$$
**چرا؟**: طبق **قضیهٔ پاره‌خط میانی مثلث**، پاره‌خطی که وسط‌های دو ضلع مثلث را به هم وصل می‌کند، با ضلع سوم **موازی** است.
**ب) برابری زوایا**
برابری زوایا از خاصیت موازی بودن و زوایای متناظر به دست می‌آید:
* **برابری $\hat{M}$ با $\hat{C}$ و $\hat{N}$ با $\hat{B}$**:
چون $MN \parallel BC$ و خط قاطع $AB$ است، $\hat{B} = \hat{A M N}$ (متناظر).
چون $MP \parallel AC$ و خط قاطع $AB$ است، $\hat{A} = \hat{B M P}$ (متناظر).
چون $NP \parallel AB$ و خط قاطع $AC$ است، $\hat{C} = \hat{A N P}$ (متناظر).
به دلیل موازی بودن $MP \parallel AC$ و $MN \parallel BC$، چهارضلعی $MNPC$ **متوازی‌الاضلاع** است (چون اضلاع روبه‌رو موازی‌اند).
در متوازی‌الاضلاع، زوایای مقابل برابرند: $$\hat{M} = \hat{C}$$
همچنین، $MP \parallel AC$ و $AB$ قاطع است $\Rightarrow \hat{B M P} = \hat{A}$ (زاویه خارجی متوازی‌الاضلاع)
و $MN \parallel BC$ و $AB$ قاطع است $\Rightarrow \hat{A M N} = \hat{B}$ (متناظر).
به طور مشابه، چهارضلعی $BMPN$ نیز متوازی‌الاضلاع است، پس $$\hat{N} = \hat{B}$$
چهارضلعی $AM P N$ نیز متوازی‌الاضلاع است، پس $$\hat{P} = \hat{A}$$
$$\text{زوایای درست}: \hat{M} = \hat{A}, \hat{N} = \hat{B}, \hat{P} = \hat{C}$$
**نتیجه‌گیری از (ب)**
چون سه زاویه از $\triangle MNP$ با سه زاویه از $\triangle ABC$ برابر است:
$$\hat{M} = \hat{A}, \quad \hat{N} = \hat{B}, \quad \hat{P} = \hat{C}$$
**نتیجه**: دو مثلث $\triangle ABC$ و $\triangle MNP$ **متشابه‌اند**. (به حالت **سه زاویهٔ برابر** $\text{(ز ز ز)}$)
$$ \triangle ABC \sim \triangle MNP $$
*نکتهٔ جانبی*: چون $MN = \frac{1}{2}BC$, $NP = \frac{1}{2}AB$ و $MP = \frac{1}{2}AC$، نسبت تشابه $k=\frac{1}{2}$ است.
اگر سه مثلث $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ و $\triangle A'B'C' \sim \triangle A''B''C''$ باشند، دربارهٔ دو مثلث $\triangle ABC$ و $\triangle A''B''C''$ چه می‌توان گفت؟ چرا؟
این سؤال دربارهٔ **خاصیت تعدی (انتقالی)** در تشابه مثلث‌ها است.
**۱. بررسی تشابه اول**:
$$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$$
این به معنای برابری زوایا و تناسب اضلاع است:
$$\hat{A} = \hat{A}', \quad \hat{B} = \hat{B}', \quad \hat{C} = \hat{C}'$$
$$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k_1$$
**۲. بررسی تشابه دوم**:
$$\triangle A'B'C' \sim \triangle A''B''C''$$
این به معنای برابری زوایا و تناسب اضلاع است:
$$\hat{A}' = \hat{A}'', \quad \hat{B}' = \hat{B}'', \quad \hat{C}' = \hat{C}''$$
$$\frac{A'B'}{A''B''} = \frac{B'C'}{B''C''} = \frac{A'C'}{A''C''} = k_2$$
**۳. نتیجه‌گیری دربارهٔ $\triangle ABC$ و $\triangle A''B''C''$**:
* **زوایا**: چون $\hat{A} = \hat{A}'$ و $\hat{A}' = \hat{A}''$، پس $\hat{A} = \hat{A}''$. به همین ترتیب: $$\hat{B} = \hat{B}'' \quad \text{و} \quad \hat{C} = \hat{C}''$$
* **اضلاع**: با ترکیب تناسب‌ها، تناسب اضلاع $\triangle ABC$ و $\triangle A''B''C''$ به دست می‌آید:
$$\frac{AB}{A''B''} = \frac{AB}{A'B'} \cdot \frac{A'B'}{A''B''} = k_1 k_2$$
**نتیجه**: دو مثلث $\triangle ABC$ و $\triangle A''B''C''$ با یکدیگر **متشابه‌اند**.
$$\triangle ABC \sim \triangle A''B''C''$$
**چرا؟**: زیرا **خاصیت تعدی** در تشابه برقرار است (اگر شکلی با شکلی متشابه باشد و آن شکل با شکل سومی متشابه باشد، شکل اول و سوم نیز با یکدیگر متشابه‌اند).
